실수의 개념과 분류-기초고교수학

<실수에 대해서…>

 지난 시간 수학을 배우는 목적에 대해서 생각해 보았고 앞으로 수학을 조금씩 공부해 보겠다는 계획을 세웠었는데, 공부하려고 마음먹은 순간부터 고민이 되는 것은 과연 어디서부터 수학 공부를 다시 시작해야 할지 다소 막막하기도 하고 현재 내 자신의 수준과 기억도 평가해 볼 필요가 있다는 생각을 해봅니다. 

 우선 너무도 오랫동안 사용도 안했기에 처음 접하는 마음과 각오로 시작할 텐데 조금이라도 익숙한 내용부분부터 진행해 보려고 하고 기회가 된다면 나중에 다시 살을 채워 넣는 식으로 해 보려고 합니다. 혹 보시다가 정리가 잘못되었거나 틀린 부분이 있으면 언제든지 알려주시면 수정하도록 하겠습니다. 그리고 혼란과 혼동을 주기 목적이 아니라 조금이라도 도움이 되고자 글을 쓰면서 정리하고 있는데 그 점에 포커스를 맞춰주시면 감사하겠습니다. 

 일단 예전 교과과정이긴 하지만 내용은 변하지 않았을 것으로 보고 순차적으로 정리해 보려고 하는데 처음 책에 등장하는 집합이나 명제의 경우는 시험에도 출제 빈도가 낮았고 추후 기회가 되면 정리해 보는 것으로 하겠고 우선 ‘실수’에 관해서 생각해 보겠습니다. 

 수학은 정의라는 학문이라는 시각에서 보면 실수를 정의라는 것은 사실 정의를 한 사람들의 관점에 따라 다를 수도 있겠지만 우리가 보통 알고 있는 실제적인 수(real number)의 개념이 가장 가까울 것 같습니다.  

 실수의 개념을 보면 유리수와 무리수를 통틀어 말한다고 볼 수 있는데 유리수와 무리수도 역시 몇 가지 경우로 구분해 볼 수 있겠습니다. 유리수와 무리수의 구분은 앞에 ‘유’자와 ‘무’자의 차이를 알면 쉽게 알 수 있을 것 같은데 영어 표기도 유리수는 rational number라하고 무리수는 irrational number라고 하기에 그 차이점은 쉽게 개념이 잡힐 것으로 봅니다. 

 ※ 실수 -> 유리수 + 무리수 

 ※ 유리수 -> 정수 + 정수가 아닌 유리수

 ※ 정수 -> 양의 정수+0(영)+음의 정수

 ※ 정수가 아닌 유리수 -> 유한소수 + 순환소수(순환하는 무한소수) 

1) 양의 정수(=자연수) : 우리가 보통 셀 때 사용하는 수로서 1, 2, 3, 4 ,5…라고 볼 수 있겠는데 ‘양의’라는 말이 들어가듯이 그 값이 +가 되는 값이라고 볼 수 있겠습니다. 영어로는 positive integer라고 표기 되는데 영어 뜻을 해석해보면 좀 더 쉽게 이해할 수 있을 것 같습니다. 그렇다면 양의 정수 중에서 가장 작은 수와 가장 큰 수에 대해서 생각해 보겠습니다. 우선 가장 큰 양의 정수에 대해 생각해 보면 양의 정수가 1, 2, 3, 4, 5…라고 그 끝을 점(…)을 찍은 것은 그 끝을 알 수 없다는 의미로 쓰여서 최대 자연수는 존재하지 않는다고 보시면 되겠고 또 가장 최소의 수는 양의 정수가 1부터 시작이므로 1이라고 볼 수 있습니다.

2) 음의 정수(negative integer) : 음의 정수는 양의 정수에 -를 붙인 수로 생각해 볼 수 있겠는데 -1, -2, -3, -4, -5…로 나타낼 수 있습니다. 그렇다면 가장 큰 음의 정수는 -1 될 것이고 가장 작은 음의 정수는 존재하지 않는다고 생각해 볼 수 있겠습니다. 사실 음의 값은 실제 그 값이 있다고 볼 수는 없을 것도 같은데 수의 개념으로 생각해 보면 정해진 기준에서 그 값이 모자란 정도를 나타내는 척도라고 볼 수도 있을 것 같습니다.  

3) 유리수(rational number) : 위에서 정리한 대로 정수와 정수가 아닌 유리수로 나뉘는데 정리를 해보면, 

 

 그 의미를 생각해 보면 정수2개를 써서 만약 나누는 수(분모)가 0이 아니다 는 가정 하에 분수의 형태로 나타낼 수 있다는 것인데 그 값이 예를 들어 4/2=2 의 경우 답이 2(양의 정수)처럼 떨어지거나 혹은 5/2=2.5처럼 소수로 표기되는 경우도 유리수로 본다는 의미입니다. 정수에 대해서는 위에서 살펴봤으니 정수가 아닌 유리수에 대해 좀 더 살펴보면 우리가 보통 알고 있는 소수들은 유리수인 경우가 많은데 보통 소수점이 0.5, 0.25. 0.001등은 모두 유리수(유한소수인 경우)라고 볼 수 있고 1/3=0.333…와 같은 경우도 위에서 내린 정의로 볼 수 있기 때문에 그 소수가 딱 떨어지지 않더라도 유리수(순환소수인 경우)라고 할 수 있습니다. 참고로 0.333…에서와 같이 3이 순환마디로서 계속 반복되는데 간단히

으로 순환하는 3위에 점을 찍어서 간단히 표기합니다.  

4) 무리수 (irrational number) : 쉽게 위에서 실제 정의를 내릴 수 있는 실수의 개념 중에서 언급한 유리수가 아닌 경우를 무리수로 볼 수 있을 텐데 정수 a, b(b≠0)를 써서 의 꼴로 표시 할 수 없는 경우라고 할 수 있겠습니다. 증명의 경우는 수학책에서 살펴보시고 여기서는 생략하겠고 무리수를 비수한 무한소수라고 할 수 있는데 위에서 말한 분류한 제곱근이나 원주율의 경우는 정수의 비로서 나타낼 수 없고 순환하지 않기 때문에 무리수로 표현할 수 있겠습니다.

☞ 무한소수가 순환되는 부분이 없습니다. 

 결국에 실수는 유리수부터 무리수까지 모든 수를 포함하기 때문에 실수는 수에 있어서 어느 부분이 유실되지 않고 연속성을 띤다고 할 수 있겠습니다.  

 오늘 시간에는 실수에 개념과 분류에 대해 알아보고 생각해 보았습니다. 수학이라는 것은 개념을 어떻게 정리하느냐에 따라 다양한 접근이 나올 수 있는 학문이라는 것을 항상 명심해야 하겠고 기존에 정의를 잘 이해함으로서 수학을 이해하는 것도 중요하겠습니다. 그런 차원에서 실수에 대해서 한번쯤은 명확히 머릿속에 정리해봐야 하겠고 설명한 빼먹은 부분이나 부족한 설명은 교과서나 참고서적을 통해서 자세히 공부해 보시기 바랍니다.  

☞ 위에서 정리한 내용은 개인적인 견해가 들어가 있는 글이므로 절대적인 자료가 아니므로 참고용으로 봐주시고 반드시 교과서나 참고서적을 통해서 정확하게 정리해 보시기 바랍니다.

 

유익하셨다면 추천 부탁드립니다. 감사합니다.^^make each day count!(순간을 소중히!)